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我们遇到的大多数群都与某些其他结构相关。例如，几何学或物理学中出现的群通常是几何对象（如 $D_{n}$）的对称群或空间（如 $S O_{3}$）的变换群。这种关系背后的思想是群作用：
设 $G$ 是一个群，$X$ 是一个集合。那么 $G$ 在 $X$ 上的一个作用是一个函数 $F: G \times X \rightarrow X$，我们记 $F(g, x)=g \cdot x$，满足：
(1) 对于所有 $g_{1}, g_{2} \in G$ 和 $x \in X$, $g_{1} \cdot\left(g_{2} \cdot x\right)=\left(g_{1} g_{2}\right) \cdot x$。
(2) 对于所有 $x \in X$, $1 \cdot x=x$。
当作用 $F$ 被理解时，我们称 $X$ 为 $G$-集。（正如我们将看到的，存在群 $G$ 和集合 $X$ 的例子，其中 $X$ 有不止一种有趣的 $G$ 作用，因此 $X$ 以不止一种方式成为 $G$-集。）
请注意，群作用与二元结构不同。在二元结构中，我们结合 $X$ 的两个元素得到 $X$ 的第三个元素（我们结合两个苹果得到一个苹果）。在群作用中，我们结合 $G$ 的一个元素与 $X$ 的一个元素得到 $X$ 的一个元素（我们结合一个苹果和一个橙子得到另一个橙子）。
(1) 平凡作用：对于所有 $g \in G$ 和 $x \in X$, $g \cdot x=x$。
(2) 群 $\mathbb{R}^{*}$ 通过标量乘法作用于向量空间 $\mathbb{R}^{n}$：给定 $t \in \mathbb{R}^{*}$ 和 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$，设 $t \cdot \mathbf{v}=t \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ 为标量乘法。这是作用的事实源于标量乘法的熟知性质：$t_{1}\left(t_{2} \mathbf{v}\right)=\left(t_{1} t_{2}\right) \mathbf{v}$ 和 $1 \mathbf{v}=\mathbf{v}$，对于所有 $t_{1}, t_{2} \in \mathbb{R}^{*}$ 和 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$。（当然，这些性质对于 $t_{1}, t_{2} \in \mathbb{R}$ 也成立，但 $\mathbb{R}$ 在乘法下不是群。此外，标量乘法还有与标量或向量的加法相关的附加性质。）
(3) $G L_{n}(\mathbb{R})$ 通过通常的规则 $A \cdot \mathbf{v}=A \mathbf{v}$ 作用于 $\mathbb{R}^{n}$，这是矩阵 $A$ 在向量 $\mathbf{v}$ 上的乘法，与 $F(\mathbf{v})$ 相同，其中 $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 是对应于 $A$ 的线性函数。类似地，$O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 作用于 $\mathbb{R}^{n}$。请注意，$G L_{n}(\mathbb{R})$ 是 $S_{\mathbb{R}^{n}}$ 的子群，$S_{\mathbb{R}^{n}}$ 是从 $\mathbb{R}^{n}$ 到自身的所有双射的群，并且 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上的作用是由 $S_{\mathbb{R}^{n}}$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上的作用诱导的，通过将函数 $F$ 应用于向量 $\mathbf{v}$。同样，子群 $O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上的作用是由 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的作用诱导的。这是一般情况的一部分：如果群 $G$ 作用于集合 $X$ 并且 $H \leq G$，那么 $H$ 也通过限制作用于 $X$。
此外，$O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 作用于由以下定义的半径为 1 的 $(n-1)$-球面 $S^{n-1}$
请注意，$S^{1}=U(1)$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 中的单位圆，$S^{2}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的单位球面。半径为 $r>0$ 的 $(n-1)$-球面类似地定义，$O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 也作用于半径为 $r$ 的 $(n-1)$-球面。
(4) $S_{n}$ 通过 $\sigma \cdot k=\sigma(k)$ 作用于 $\{1, \ldots, n\}$（这里我们使用 $S_{n}$ 中乘法作为函数复合的定义）。更一般地，如果 $X$ 是任何集合，$S_{X}$ 通过相同的公式作用于 $X$：给定 $\sigma \in S_{X}$ 和 $x \in X$，定义 $\sigma \cdot x=\sigma(x)$。要看到这确实是我们定义的作用，请注意，给定 $\sigma_{1}, \sigma_{2} \in S_{X}$ 和 $x \in X$，
因为 $S_{X}$ 上的群运算是函数复合。显然 $\operatorname{Id}_{X} \cdot x=\operatorname{Id}_{X}(x)=x$ 对于所有 $x \in X$。因此 $S_{X}$ 作用于 $X$。请注意，$S_{X}$ 作用于许多其他与 $X$ 相关的对象，例如幂集 $\mathcal{P}(X)$，即 $X$ 的所有子集的集合，通过公式，对于所有 $\sigma \in S_{X}$ 和 $A \subseteq X$，
由于 $\#(\sigma \cdot A)=\#(A)$，如果 $A$ 是有限的，$S_{X}$ 也作用于 $\mathcal{P}(X)$ 的子集，该子集由 $X$ 的所有具有 2 个元素、或 3 个元素、或任何固定 $k$ 个元素的子集组成。
这里 $S_{X}$ 并没有什么特别之处：如果群 $G$ 作用于集合 $X$，那么它也作用于与 $X$ 相关的各种集合，例如 $\mathcal{P}(X)$ 或 $X \times X$。
(5) 设 $P_{n}$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 中的一个正 $n$-边形，$n \geq 3$。例如，我们可以将 $P_{n}$ 设为以原点为中心，顶点为
二面体群 $D_{n}$ 作用于 $P_{n}$ 以及顶点集 $\left\{\mathbf{p}_{0}, \ldots, \mathbf{p}_{n-1}\right\}$ 和边集 $\left\{\overline{\mathbf{p}_{0} \mathbf{p}_{1}}, \overline{\mathbf{p}_{1} \mathbf{p}_{2}}, \ldots, \overline{\mathbf{p}_{n-1} \mathbf{p}_{0}}\right\}$。使用上述符号，很容易看出（正如我们之前描述的）
(6) 在与上一个示例部分类比的情况下，设 $S$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的一个正多面体（或柏拉图多面体），欧几里得、柏拉图以及柏拉图之前的毕达哥拉斯学派都知道它。我们不给出精确的定义。我们认为 $S$ 以原点为中心。在这里，与 $\mathbb{R}^{2}$ 中对于每个 $n \geq 3$ 都有一个正 $n$-边形的情况不同，只有 5 个正多面体。正多面体是多面体的一个例子，它有顶点、边和面。如果我们列出这些信息，我们有以下正多面体列表（其中 $v$ 是顶点数，$e$ 是边数，$f$ 是面数）：
| 名称 | $v$ | $e$ | $f$ | $n$ |
|---|---|---|---|---|
| 四面体 | 4 | 6 | 4 | 3 |
| 立方体 | 8 | 12 | 6 | 4 |
| 八面体 | 6 | 12 | 8 | 3 |
| 十二面体 | 20 | 30 | 12 | 5 |
| 二十面体 | 12 | 30 | 20 | 3 |
这里 $n$ 是面的边数，面是正 $n$-边形。这可以通过上述数据确定，因为每条边恰好连接两个面，因此 $2 e=n f$。例如，十二面体的面是正五边形。请注意欧拉公式，在这种情况下它表示
对于每个正多面体 $S$，都有一个相关的对偶多面体 $S^{\vee}$，其中 $S^{\vee}$ 的顶点数等于 $S$ 的面数，反之亦然。这里四面体是它自己的对偶，而立方体的对偶是八面体，十二面体的对偶是二十面体。
给定一个正多面体 $S$，我们定义它的对称群 $G(S)$ 为
那么 $G(S)$ 作用于 $S$，并作用于 $S$ 的顶点集、边集或面集。不难证明 $G(S)=G\left(S^{\vee}\right)$，所以只有三种形式为 $G(S)$ 的群。请注意（与 $D_{n}$ 的情况不同，在 $D_{n}$ 中我们允许 $O_{2}$ 的元素），我们只考虑 $S O_{3}$ 的元素。群 $G(S)$ 总是有限的，我们稍后会对此多说一点。
(7) 剩下的两个例子与群论更直接相关。如果 $G$ 是一个群，那么 $G$ 通过左乘作用于自身：$g \cdot x=g x$。群作用的公理只是 $G$ 中乘法的结合律 ($g_{1}\left(g_{2} x\right)=\left(g_{1} g_{2}\right) x$) 和恒等元的定义 ($1 x=x$ 对于所有 $x \in G$)。更一般地，如果 $H \leq G$ 是一个子群，不一定是正规子群，那么 $G$ 通过以下方式作用于左陪集 $G / H$ 的集合：$g \cdot(x H)=(g x) H$。证明这确实是一个作用与左乘的情况类似。
(8) $G$ 通过共轭 $i_{g}: i_{g}(x)=g x g^{-1}$ 作用于自身。（我们这样写是为了避免与左乘作用混淆，而不是写成 $g \cdot x$。）要看到这是一个作用，请注意，对于所有 $g_{1}, g_{2} \in G$，
这里我们使用了熟知的事实 $\left(g_{1} g_{2}\right)^{-1}=g_{2}^{-1} g_{1}^{-1}$。由于显然
共轭确实给出了 $G$ 在自身上的一个作用。这个作用是平凡作用 $\Longleftrightarrow g x g^{-1}=x$ 对于所有 $g, x \in G \Longleftrightarrow g x=x g$ 对于所有 $g, x \in G \Longleftrightarrow G$ 是阿贝尔群。
如果 $X$ 是一个 $G$-集，那么 $X$ 的一个 $G$-子集 $Y$ 是一个子集 $Y \subseteq X$，使得对于所有 $g \in G$ 和 $y \in Y, g \cdot y \in Y$。一个 $G$-子集本身就是一个 $G$-集。
如果 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是 $G$-集，从 $X_{1}$ 到 $X_{2}$ 的 $G$-集同构，或者简称为 $G$-同构，是一个双射 $f: X_{1} \rightarrow X_{2}$，使得对于所有 $g \in G$ 和 $x \in X$, $f(g \cdot x)=g \cdot f(x)$。在这种情况下，我们说 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 作为 $G$-集是同构的，或者 $G$-同构的，并记作 $X_{1} \cong_{G} X_{2}$。显然 $\operatorname{Id}_{X}$ 是一个 $G$-集同构。如果 $f: X_{1} \rightarrow X_{2}$ 是一个 $G$-集同构，那么 $f^{-1}$ 也是。同样，两个同构的复合仍然是一个同构。因此，与同构的通常定义一样，关系 $\cong_{G}$ 是自反的、对称的、和传递的。
我们在上面的一些例子中隐含地看到了以下原理：
如果 $X$ 是一个 $G$-集，并且 $f: G^{\prime} \rightarrow G$ 是一个同态，那么 $X$ 通过 $g^{\prime} \cdot x=f\left(g^{\prime}\right) \cdot x$ 成为一个 $G^{\prime}$-集。特别是，如果 $H \leq G$，那么一个 $G$-集 $X$ 也通过 $H$ 到 $G$ 的包含同态成为一个 $H$-集。
证明。给定 $g_{1}^{\prime}, g_{2}^{\prime} \in G^{\prime}$，
使用了 $f$ 是同态的事实。此外，如果 $1^{\prime}$ 是 $G^{\prime}$ 中的恒等元，那么 $f\left(1^{\prime}\right)=1$ 是 $G$ 中的恒等元，因此，对于所有 $x \in X$，
由此可见，公式 $g^{\prime} \cdot x=f\left(g^{\prime}\right) \cdot x$ 定义了 $G^{\prime}$ 在 $X$ 上的一个作用。
如果 $G$ 是一个群，那么 $S_{G}$ 作用于 $G$ 并作用于 $G$ 的所有子集的集合 $\mathcal{P}(G)$。因此，Aut $G$ 也作用于它，Aut $G$ 是 $G$ 的自同构群（即从 $G$ 到 $G$ 的同构），它是 $S_{G}$ 在复合下的子群。请注意，Aut $G$ 也作用于 $G$ 的所有子群的集合，该集合是 $\mathcal{P}(G)$ 的一个子集，而 $S_{G}$ 不作用于该集合（因为从 $G$ 到自身的双射通常不会将子群映射到子群）。此外，我们有共轭同态 $f: G \rightarrow$ Aut $G$，定义为 $f(g)=i_{g}$，其中通常 $i_{g}(x)=g x g^{-1}$。复合 $G \rightarrow$ Aut $G \rightarrow S_{G}$ 定义了 $G$ 通过共轭在自身上的作用。特别是，$G$ 在自身上的共轭作用也定义了在 $G$ 的所有子群的集合上的作用，我们继续表示为 $i_{g}: i_{g}(H)=g H g^{-1}$。
使用命题 1.1.5，我们可以给出凯莱定理的部分推广。回想一下，对于 $G$ 在自身上的左乘作用，我们定义了一个双射 $\ell_{g}: G \rightarrow G$
更一般地，设 $G$ 作用于一个集合 $X$，并定义 $\ell_{g}: X \rightarrow X$ 由公式
符号如上，
(i) 对于所有 $g_{1}, g_{2} \in G, \ell_{g_{1}} \circ \ell_{g_{2}}=\ell_{g_{1} g_{2}}$。
(ii) $\ell_{1}=\operatorname{Id}_{X}$。
(iii) 对于所有 $g \in G, \ell_{g}$ 是从 $X$ 到 $X$ 的双射，即对于所有 $g \in G, \ell_{g} \in S_{X}$，并且 $\ell_{g}$ 的逆是 $\ell_{g^{-1}}$。
证明。(i) 我们必须检查对于所有 $x \in X, \ell_{g_{1}} \circ \ell_{g_{2}}(x)=\ell_{g_{1} g_{2}}(x)$。根据定义，
(ii) 显然，对于所有 $x \in X, \ell_{1}(x)=1 \cdot x=x$，因此 $\ell_{1}=\operatorname{Id}_{X}$。
(iii) 只需要证明 $\left(\ell_{g}\right)^{-1}=\ell_{g^{-1}}$，即 $\ell_{g} \circ \ell_{g^{-1}}=\ell_{g^{-1}} \circ \ell_{g}=\operatorname{Id}_{X}$。使用 (i) 和 (ii)，
类似地 $\ell_{g^{-1}} \circ \ell_{g}=\operatorname{Id}_{X}$。
特别注意，如果 $y=g \cdot x$，那么 $x=g^{-1} \cdot y$。
如果 $X$ 是一个 $G$-集，那么由 $F(g)=\ell_{g}$ 定义的函数 $F: G \rightarrow S_{X}$ 是从 $G$ 到 $S_{X}$ 的同态。
证明。根据上面的 (iii)，$\ell_{g} \in S_{X}$。方程 $\ell_{g_{1}} \circ \ell_{g_{2}}=\ell_{g_{1} g_{2}}$ 表示 $F\left(g_{1} g_{2}\right)=F\left(g_{1}\right) \circ F\left(g_{2}\right)$，换句话说，$F$ 是一个同态。
对于 $G$ 在自身上的左乘作用，同态 $F: G \rightarrow S_{G}$ 很容易看出是内射的；这是凯莱定理的内容。然而，在一般情况下，$F$ 不必是内射的。例如，如果 $G$ 通过平凡作用 $g \cdot x=x$ 作用于 $X$ 对于所有 $g \in G$，那么对于所有 $g \in G, \ell_{g}=\operatorname{Id}_{X}$，因此 $F$ 是平凡同态。
我们也可以逆转推论的构造：给定一个同态 $F: G \rightarrow S_{X}$，由于 $S_{X}$ 作用于 $X$，根据命题 1.1.5，$X$ 成为一个 $G$-集。最后，刚刚描述的两种构造（从 $G$ 在 $X$ 上的作用到同态 $G \rightarrow S_{X}$，以及从同态 $G \rightarrow S_{X}$ 到 $G$ 在 $X$ 上的作用）是逆向构造。因此，$G$-集 $X$ 的概念等价于同态 $G \rightarrow S_{X}$ 的概念。
如果 $X$ 是一个 $G$-集，$x \in X$，那么 $X$ 的轨道（在 $G$ 下）是集合 $G \cdot x= \{g \cdot x: g \in G\}$。因此 $G \cdot x \subseteq X$。显然 $G \cdot x$ 是 $X$ 的一个 $G$-子集，并且是包含 $x$ 的最小 $G$-子集。
在 $S_{n}$ 作用于 $\{1, \ldots, n\}$ 的情况下，给定 $\sigma \in S_{n}$，我们之前定义了 $\sigma$ 的轨道 $O_{\sigma}(i)$。与当前定义的联系如下：之前意义上的 $\sigma$ 的轨道是 $\langle\sigma\rangle$ 作为 $S_{n}$ 的子群作用于 $\{1, \ldots, n\}$ 的轨道。换句话说，$O_{\sigma}(i)=\langle\sigma\rangle \cdot i$。实际上，两边都等于
我们通过等价关系定义了轨道 $O_{\sigma}(i)$，因此自然地尝试对轨道 $G \cdot x$ 做同样的事情。
设 $G$ 作用于集合 $X$，并定义 $x \sim_{G} y \Longleftrightarrow$ 存在一个 $g \in G$ 使得 $g \cdot x=y$。那么 $\sim_{G}$ 是一个等价关系，并且包含 $x$ 的等价类是轨道 $G \cdot x$。因此， $G$ 的两个轨道要么不相交，要么相同。
证明。反身性：$x=1 \cdot x$，因此 $x \sim_{G} x$。对称性：如果 $x \sim_{G} y$，那么根据定义存在一个 $g \in G$ 使得 $g \cdot x=y$。我们已经看到，在这种情况下，$g^{-1} \cdot y=x$。因此 $y \sim_{G} x$。传递性：假设 $x \sim_{G} y$ 并且 $y \sim_{G} z$。那么存在一个 $g_{1} \in G$ 使得 $g_{1} \cdot x=y$，并且存在一个 $g_{2} \in G$ 使得 $g_{2} \cdot y=z$。因此 $z=g_{2} \cdot y=g_{2} \cdot\left(g_{1} \cdot x\right)=\left(g_{2} g_{1}\right) \cdot x$，所以 $x \sim_{G} z$。
剩下的陈述，即包含 $x$ 的等价类是轨道 $G \cdot x$，以及 $G$ 的两个轨道要么不相交，要么相同，根据定义和等价类的一般性质都是清楚的。
如果 $X$ 是一个 $G$-集，并且对于 $X$ 中的一个（或等价地，所有） $x$, $G \cdot x=X$，我们说 $G$ 传递地作用于 $X$。
(1) $S_{n}$ 传递地作用于 $\{1, \ldots, n\}$。这只是说，对于所有 $k \in\{1, \ldots, n\}$，存在一个 $\sigma \in S_{n}$ 使得 $\sigma(1)=k$，因此 $S_{n} \cdot 1=\{1, \ldots, n\}$ 并且只有一个轨道。同样，很容易看出 $A_{n}$ 对于 $n \geq 3$ 传递地作用于 $\{1, \ldots, n\}$，但对于 $n=2$ 不成立。但是，如果 $\sigma \in S_{n}$，那么子群 $\langle\sigma\rangle$ 传递地作用于 $\{1, \ldots, n\} \Longleftrightarrow$ $\sigma$ 只有一个轨道并且它有 $n$ 个元素 $\Longleftrightarrow$ $\sigma$ 是一个 $n$-循环。
(2) $G L_{n}(\mathbb{R})$ 作用于 $\mathbb{R}^{n}$。有两个轨道：$\{\mathbf{0}\}$ 和 $\mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\}$。这里，显然 $G L_{n}(\mathbb{R}) \cdot \mathbf{0}=\{\mathbf{0}\}$。要看到只有一个额外的轨道，我们证明 $G L_{n}(\mathbb{R}) \cdot \mathbf{e}_{1}=\mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\}$。设 $\mathbf{v}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的非零向量，即 $\mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\}$ 中的一个元素。根据标准线性代数，$\mathbf{v}$ 可以完成为 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个基 $\mathbf{v}=\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n}$。如果 $A$ 是其列为 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n}$ 的矩阵，那么 $A$ 是可逆的，即 $A \in G L_{n}(\mathbb{R})$，并且 $A \mathbf{e}_{i}=\mathbf{v}_{i}$ 对于每个 $i$。特别地，$A \mathbf{e}_{1}=\mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}$。这表示 $\mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\} \subseteq G L_{n}(\mathbb{R}) \cdot \mathbf{e}_{1}$，但也有 $G L_{n}(\mathbb{R}) \cdot \mathbf{e}_{1} \subseteq \mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\}$，因为如果 $A$ 可逆，$A \mathbf{e}_{1}$ 不能是 $\mathbf{0}$，因为 $A$ 的零空间是 $\{\mathbf{0}\}$。因此 $G L_{n}(\mathbb{R}) \cdot \mathbf{e}_{1}=\mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\}$。
同样，$O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 作用于 $\mathbb{R}^{n}$。对于 $n \geq 2$，轨道是 $\{\mathbf{0}\}$ 和以原点为中心的半径 $r>0$ 的 $(n-1)$-球面，对于 $O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 都是如此。这源于格拉姆-施密特过程：如果 $\mathbf{u}$ 是一个单位向量（ $\|\mathbf{u}\|=1$），那么 $\mathbf{u}$ 可以完成为 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个正交基 $\mathbf{u}=\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \ldots, \mathbf{u}_{n}$。如果 $A$ 是其列为 $\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \ldots, \mathbf{u}_{n}$ 的矩阵，那么 $A$ 是一个正交矩阵，即 $A \in O_{n}$，并且 $A \mathbf{e}_{1}=\mathbf{u}_{1}=\mathbf{u}$。如果 $\operatorname{det} A=-1$，我们也可以用 $-\mathbf{u}_{n}$ 替换 $\mathbf{u}_{n}$，以使 $A \in S O_{n}$。这表明单位 $(n-1)$-球面 $S^{n-1}$ 是 $O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 的一个单一轨道，并且稍作修改可以处理半径为 $r>0$ 的 $(n-1)$-球面情况。特别地，对于 $n \geq 2$，$O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 传递地作用于 $S^{n-1}$。由于这个作用是传递的，$S^{n-1}$ 的几何是齐次的，即它在每个点看起来都相同。
(3) 二面体群 $D_{n}$ 传递地作用于 $P_{n}$ 的顶点集 $\left\{\mathbf{p}_{0}, \ldots, \mathbf{p}_{n-1}\right\}$。
(4) 群 $G$ 通过左乘作用于自身。这个作用是传递的，因为例如轨道 $G \cdot 1$ 显然是 $G$。类似地，如果 $H \leq G$ 并且 $G$ 通过左乘作用于 $G / H$，那么恒等陪集 $H=1 H$ 的轨道 $G \cdot H$ 显然是 $G / H$，因为根据 $G$ 在 $G / H$ 上的作用定义，$g \cdot H=g H$。因此，再次，作用是传递的。
(5) 群 $G$ 通过共轭作用于自身。 $x \in G$ 的轨道是 $x$ 的共轭类，即 $G$ 的子集 $C(x)$，由所有与 $x$ 共轭的元素组成。因此根据定义
例如，$C(1)=\{1\}$，因此只要 $G$ 不是平凡群，共轭作用就永远不是传递的。
如果 $X$ 是一个 $G$-集，$x \in X$，那么同构子群 $G_{x}$ 是集合 $\{g \in G: g \cdot x=x\}$。子群 $G_{x}$ 也称为 $x$ 的稳定子，有时记作 $\operatorname{Stab} x$。
$G_{x}$ 是 $G$ 的一个子群。
证明。封闭性：如果 $g_{1}, g_{2} \in G_{x}$，那么
恒等元：由于 $1 \cdot x=x$，对于每个 $x$，$1 \in G_{x}$。逆元：如果 $g \in G_{x}$，那么根据定义 $g \cdot x=x$。正如我们已经看到的，$g^{-1} \cdot x=x$，因此 $g^{-1} \in G_{x}$。因此 $G_{x} \leq G$。
如果 $X$ 是一个 $G$-集，那么不动集 $X^{G}$ 是集合 $\{x \in X: g \cdot x= x \text{ 对于所有 } g \in G\}$。它是 $X$ 的最大 $G$-子集，对于该子集，$G$-作用是平凡的。显然 $x \in X^{G} \Longleftrightarrow G_{x}=G \Longleftrightarrow G \cdot x=\{x\} \Longleftrightarrow$ 轨道 $G \cdot x$ 恰好包含一个元素。
注意：不要将不动集 $X^{G}$ 与从 $G$ 到 $X$ 的函数集合混淆。尽管我们使用相同的符号，但其含义应始终从上下文中清楚。
以下是轨道和同构子群之间的基本联系：
如果 $X$ 是一个 $G$-集，$x \in X$，那么存在一个从 $G \cdot x$ 到 $G / G_{x}$ 的 $G$-集同构，其中 $G$ 以通常的方式（通过左乘陪集）作用于 $G_{x}$ 的左陪集集合。特别是，如果 $G$ 传递地作用于 $X$，那么 $X$ 与 $G / G_{x}$ 是 $G$-同构的。
证明。最简单的方法是定义一个函数 $F: G / G_{x} \rightarrow G \cdot x$，并首先证明它是双射，然后证明它是 $G$-集同构。给定一个陪集 $g G_{x}$，定义 $F\left(g G_{x}\right)=g \cdot x$（请注意，这确实是 $G \cdot x$ 的一个元素）。我们必须证明 $F$ 是良定义的，即与陪集 $g G_{x}$ 的代表元 $g$ 无关。 $g G_{x}$ 的任何其他元素形式为 $g h$，其中 $h \in G_{x}$，因此
因为根据 $G_{x}$ 的定义 $h \cdot x=x$。因此 $F$ 是良定义的，并且根据 $G \cdot x$ 的定义它是满射的。接下来，我们声称 $F$ 是内射的。假设 $F\left(g_{1} G_{x}\right)=F\left(g_{2} G_{x}\right)$。那么根据定义 $g_{1} \cdot x=g_{2} \cdot x$，因此
因此 $g_{1}^{-1} g_{2} \in G_{x}$，所以 $g_{1} G_{x}=g_{2} G_{x}$。因此 $F$ 是内射的，从而是一个双射。最后，我们必须检查 $F$ 是否是 $G$-集同构。这从以下事实得出：对于所有 $g \in G$ 和陪集 $h G_{x} \in G / G_{x}$，根据 $G$ 在 $G / G_{x}$ 上的作用定义，
因此 $F$ 是 $G$-集同构。
假设 $G$ 是有限的。设 $X$ 是一个 $G$-集，并设 $x \in X$。那么
等价地，
因此 $G$ 在 $X$ 中的一个轨道的阶数整除 $G$ 的阶数。特别地，如果 $G$ 传递地作用于 $X$，那么 $\#(G)=\#\left(G_{x}\right) \cdot \#(X)$，或等价地 $\#(X)=\left(G: G_{x}\right)$。
(1) $S_{n}$ 传递地作用于 $\{1, \ldots, n\}$，并且 $n$ 的同构子群是
因此 $S_{n} / H_{n}$ 与 $\{1, \ldots, n\}$ 是 $S_{n}$-同构的。请注意 $\#\left(S_{n}\right)=n!, \#\left(H_{n}\right)=\#\left(S_{n-1}\right)=(n-1)!$，并且 $\#(\{1, \ldots, n\})=n=n!/(n-1)!=\#\left(S_{n}\right) / \#\left(H_{n}\right)$。
(2) $S O_{n}$ 传递地作用于 $S^{n-1}$，并且 $\mathbf{e}_{n}$ 的同构子群很容易看出是 $S O_{n-1}$。因此 $S O_{n} / S O_{n-1}$ 与 $S^{n-1}$ 是 $S O_{n}$-同构的。在拓扑学中，这是 $(n-1)$-球面和群 $S O_{n}$ 之间的一个重要关系。
(3) $D_{n}$ 传递地作用于 $P_{n}$ 的顶点集 $\left\{\mathbf{p}_{0}, \ldots, \mathbf{p}_{n-1}\right\}$，并且 $\mathbf{p}_{0}$ 的同构子群是关于 $\mathbf{p}_{0}$ 的反射。这提供了另一个证明 $\#\left(D_{n}\right)=2 n$ 的论据。
(4) 设 $S$ 是十二面体，$G(S)$ 是 $S$ 的对称群。通过实验一个 $S$ 模型，可以合理地认为 $G(S)$ 传递地作用于 $S$ 的 12 个面，并且一个面的同构群的阶数为 5，对应于五边形的可能旋转。因此我们期望 $\#(G(S))=60$。通过观察 $G(S)$ 在 20 个顶点上的作用，其中同构群的阶数为 3，或者在 30 条边上的作用，其中同构群的阶数为 2，我们可以得出类似的结论。实际上，可以证明 $G(S) \cong A_{5}$。类似论证适用于其他正多面体：四面体的对称群的阶数为 12，并且同构于 $A_{4}$，而立方体或八面体的对称群的阶数为 24，并且同构于 $S_{4}$。
(5) 如果 $H$ 是 $G$ 的子群，那么 $G$ 传递地作用于 $G / H$，因为轨道 $G \cdot H=G / H$。 $H$ 的同构子群根据定义是
$x H$ 的同构子群是
因为 $g x H=x H \Longleftrightarrow x^{-1} g x \in H \Longleftrightarrow g \in x H x^{-1}$。
(6) 如果 $G$ 通过共轭作用于自身，那么不动集 $G^{G}$ 只是 $G$ 的中心 $Z(G)$， $x \in G$ 的轨道正如我们已经看到的，是共轭类 $C(x)=\left\{g x g^{-1}: g \in G\right\}$，而 $x$ 的同构群是 $x$ 的中心化子，即子群
与 $x$ 可交换的 $G$ 的所有元素组成的子群。因此 $C(x)$ 与 $G / Z(x)$ 是 $G$-同构的，并且，如果 $G$ 是有限的，那么
关于同构子群的另外两个有用的事实如下：
(i) 如果 $X$ 是一个 $G$-集，$x \in X$，并且 $y=g \cdot x \in G \cdot x$，那么 $G_{y}=g G_{x} g^{-1}$。换句话说，$x$ 和 $y$ 的同构群通过 $g$ 共轭。
(ii) 推论 1.1.8 中由 $F(g)=\ell_{g}$ 定义的同态 $F: G \rightarrow S_{X}$ 的核是
证明。(i) 给定 $h \in G, h \cdot y=y \Longleftrightarrow h \cdot(g \cdot x)=g \cdot x \Longleftrightarrow(h g) \cdot x=g \cdot x \Longleftrightarrow g^{-1} \cdot((h g) \cdot x)=x \Longleftrightarrow\left(g^{-1} h g\right) \cdot x=x \Longleftrightarrow g^{-1} h g \in G_{x} \Longleftrightarrow h \in g G_{x} g^{-1}$。因此 $G_{y}=g G_{x} g^{-1}$。
(ii) 根据定义，$g \in \operatorname{Ker} F \Longleftrightarrow F(g)=\ell_{g}=\operatorname{Id}_{X} \Longleftrightarrow$ 对于所有 $x \in X, g \cdot x=x \Longleftrightarrow$ 对于所有 $x \in X, g \in G_{x}$。
为了解释上面 (i) 中的假设，请注意，只有在同一轨道中的两个元素比较同构子群才有意义。